3.解方程ln(2x+1)=ln(x2-2);
求函數(shù)f(x)=($\frac{1}{2}$)2x+2×($\frac{1}{2}$)x(x≤-1)的值域.

分析 (1)根據(jù)方程式,方程的解需要滿足函數(shù)定義域要求,再根據(jù)對數(shù)相等即可列出方程式;
(2)利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)來求原函數(shù)的值域即可;

解答 解:(1)由題意:ln(2x+1)=ln(x2-2);
所以有$\left\{\begin{array}{l}{2x+1>0}\\{{x}^{2}-2>0}\\{2x+1={x}^{2}-2}\end{array}\right.$⇒x=3 或-1(負(fù)舍)
故方程的解為{x|x=3};
(2)由題意:函數(shù)f(x)=($\frac{1}{2}$)2x+2×($\frac{1}{2}$)x(x≤-1)
令t=$(\frac{1}{2})^{x}$∈[2,+∞),換元后得:
g(t)=t2+2t (t≥2)
g(t)為一元二次函數(shù),開口朝上,對稱軸為t=-1,知:
g(t)在(2,+∞)上單調(diào)遞增,g(t)min=8
故g(t)的值域?yàn)閇8,+∞)

點(diǎn)評 本題主要考查了方程的解以及定義域,同時考查了利用換元法求函數(shù)值域,屬基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
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