Question

8．設(shè)P（x，y），其中x，y∈N，則滿足x+y≤4的點P的個數(shù)為15．一般地，滿足x+y≤n（n∈N）的點P的個數(shù)應為$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$個．

Answer 1

分析 欲求滿足x+y≤4的點的個數(shù)，先在直角坐標系中畫出滿足x+y≤4的平面區(qū)域，后在區(qū)域中一一找出整數(shù)點即可．再根據(jù)歸納推理即可求出答案

解答 解：如圖所示，用數(shù)形結(jié)合法知共有15個滿足x+y≤4的點P．
分別為                          （0，0），
                             （1，0），（0，1），
                   （2，0），（1，1），（0，2），
              （3，0），（2，1），（1，2），（0，3），
    （4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4），
共有1+2+3+4+5=15個
當n=1時，1+2=3個，
當n=2時，1+2+3=6個，
當n=3時，1+2+3+4=10個，
…
一般地，滿足x+y≤n（n∈N）的點P的個數(shù)應為1+2+3+…+（n+1）=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$
故答案為：15，$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$

點評 借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問題，以及歸納推理的問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想．屬于中檔題．