【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+3.
(1)若f(x)在(﹣∞, ]是減函數(shù),在[ ,+∞)是增函數(shù),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣1,5]的最大值和最小值.
(2)求實數(shù)a的取值范圍,使f(x)在區(qū)間[﹣5,5]上是單調(diào)函數(shù),并指出相應(yīng)的單調(diào)性.
【答案】
(1)解:∵f(x)在(﹣∞, ]是減函數(shù),在[ ,+∞)是增函數(shù),
故函數(shù)圖象開口朝上,且以直線x= 為對稱軸,
即﹣a= ,a=﹣ ,
∴f(x)=x2﹣x+3,
在區(qū)間[﹣1,5]上,
當x= 時,函數(shù)取最小值 ,
當x=5時,函數(shù)取最大值23.
(2)解:函數(shù)f(x)=x2+2ax+3的圖象開口朝上,且以直線x=﹣a為對稱軸,
若f(x)在區(qū)間[﹣5,5]上是單調(diào)函數(shù),
則﹣a≤﹣5,或﹣a≥5,
即a≤﹣5,或a≥5,
當a≥5時,在[﹣5,5]上是增函數(shù),
當a≤﹣5時,在[﹣5,5]上是減函數(shù)
【解析】(1)若f(x)在(﹣∞, ]是減函數(shù),在[ ,+∞)是增函數(shù),則函數(shù)圖象開口朝上,且以直線x= 為對稱軸,求出a值,可得函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣1,5]的最大值和最小值.(2)函數(shù)f(x)=x2+2ax+3的圖象開口朝上,且以直線x=﹣a為對稱軸,若f(x)在區(qū)間[﹣5,5]上是單調(diào)函數(shù),則﹣a≤﹣5,或﹣a≥5,進而得到答案.
【考點精析】認真審題,首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若直線與曲線的交點的橫坐標為,且,求整數(shù)所有可能的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知圓G:x2﹣x+y2=0,經(jīng)過拋物線y2=2px的焦點,過點(m,0)(m<0)傾斜角為 的直線l交拋物線于C,D兩點. (Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)若焦點F在以線段CD為直徑的圓E的外部,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)求函數(shù)的極值;
(2)當時,若存在實數(shù), 使得不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)g(x)= 是奇函數(shù),f(x)=log4(4x+1)﹣mx是偶函數(shù).
(1)求m+n的值;
(2)設(shè)h(x)=f(x)+ x,若g(x)>h[log4(2a+1)]對任意x≥1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=1﹣ .
(1)求證:f(x)是定義域內(nèi)的增函數(shù);
(2)當x∈[0,1]時,求f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,△PAB與△PAD均是以A為直角頂點的等腰直角三角形,點F是PB的中點,點E是邊BC上的任意一點.
(1)求證:AF⊥EF;
(2)求二面角A﹣PC﹣B的平面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線y=x+b與橢圓 +y2=1相交于A,B兩個不同的點.
(1)求實數(shù)b的取值范圍;
(2)已知弦AB的中點P的橫坐標是- ,求b的值.
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