Question

9．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，a₃=7，且a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿足b_n=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$，設(shè)其前n項(xiàng)和為S_n，求證：$\frac{1}{2}$≤S_n＜$\frac{4}{7}$．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，由a₃=7，且a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列．可得a₁+2d=7，$（{a}_{1}+3d）^{2}$=（a₁+d）（a₁+8d），聯(lián)立解得即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b_n=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{3n-2}$=4×$（\frac{1}{8}）^{n}$．再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （I）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，∵a₃=7，且a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列．
∴a₁+2d=7，${a}_{4}^{2}$=a₂•a₉，即$（{a}_{1}+3d）^{2}$=（a₁+d）（a₁+8d），
聯(lián)立解得d=3，a₁=1．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3n-2．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知：b_n=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{3n-2}$=4×$（\frac{1}{8}）^{n}$．
∴S_n=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{8}）^{n}]}{1-\frac{1}{8}}$=$\frac{4}{7}$$[1-（\frac{1}{8}）^{n}]$∈$[\frac{1}{2}，\frac{4}{7}）$．
∴$\frac{1}{2}$≤S_n＜$\frac{4}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．