Question

11．已知點(diǎn)M（x，y）在運(yùn)動過程中，總滿足關(guān)系式$\sqrt{{x}^{2}+（y+3）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=10．
（1）直接寫出點(diǎn)M的軌跡是什么曲線，并求該曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線y=$\frac{5}{4}$x+m與點(diǎn)M的軌跡相交于A、B兩點(diǎn)，且△OAB的面積為8（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求常數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義即可得出；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：25x²+20mx+8m²-200=0，△＞0，解得m²＜50．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|=$\sqrt{（1+\frac{25}{16}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．點(diǎn)O到直線AB的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+\frac{25}{16}}}$．利用S_△OAB=$\frac{1}{2}d$|AB|=8，解出即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)M（x，y）在運(yùn)動過程中，滿足關(guān)系式$\sqrt{{x}^{2}+（y+3）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=10．
∴點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3）的距離之和為定值10，且10＞|F₁F₂|=6．
∴該曲線為橢圓，其標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{16}$=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{5}{4}x+m}\\{\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，化為：25x²+20mx+8m²-200=0，
△=400m²-100（8m²-200）＞0，解得m²＜50．
∴x₁+x₂=-$\frac{4m}{5}$，x₁x₂=$\frac{8{m}^{2}-200}{25}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{25}{16}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+\frac{25}{16}）[\frac{16{m}^{2}}{25}-\frac{4（8{m}^{2}-200）}{25}]}$=$\frac{4\sqrt{50-{m}^{2}}}{5}$•$\sqrt{1+\frac{25}{16}}$．
點(diǎn)O到直線AB的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+\frac{25}{16}}}$．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}d$|AB|=$\frac{2\sqrt{50-{m}^{2}}|m|}{5}$=8，
解得m=$±2\sqrt{10}$，$±\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、三角形面積計(jì)算公式、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．