Question

6．給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=cosx，g（x）=|cosx|都是周期函數(shù)，且最小正周期都為2π；
②函數(shù)y=sin|x|在區(qū)間（-$\frac{π}{2}$，0）上遞增；
③函數(shù)y=cos（$\frac{3x}{4}$+$\frac{π}{2}$）是奇函數(shù)；
④函數(shù)y=tan（2x-$\frac{π}{6}$）的定義域是{x|x∈R且x≠$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z}；
⑤函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則4為f（x）的一個(gè)周期．
其中正確的命題是③④⑤（把正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 ①求出函數(shù)f（x）、g（x）的最小正周期即可判斷①錯(cuò)；
②根據(jù)函數(shù)y是偶函數(shù)，在區(qū)間（-$\frac{π}{2}$，0）上單調(diào)遞減判斷②錯(cuò)；
③化簡(jiǎn)函數(shù)y，判斷它是定義域R上的奇函數(shù)，判斷③正確；
④求出函數(shù)y的定義域，即可判斷④正確；
⑤根據(jù)定義判斷4為f（x）的一個(gè)周期，⑤正確．

解答 解：對(duì)于①，函數(shù)f（x）=cosx的最小正周期是2π，g（x）=|cosx|的最小正周期是π，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，函數(shù)y=sin|x|是偶函數(shù)，在區(qū)間（-$\frac{π}{2}$，0）上單調(diào)遞減，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，函數(shù)y=cos（$\frac{3x}{4}$+$\frac{π}{2}$）=-sin$\frac{3}{4}$x，是定義域R上的奇函數(shù)，故③正確；
對(duì)于④，令2x-$\frac{π}{6}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得x≠$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
所以函數(shù)y=tan（2x-$\frac{π}{6}$）的定義域是{x|x∈R且x≠$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z}，故④正確；
對(duì)于⑤，函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
所以f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），
即f（x+4）=f（x），所以4為f（x）的一個(gè)周期，⑤正確．
綜上，正確的命題是③④⑤．
故答案為：③④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了函數(shù)奇偶性與對(duì)稱性的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．