Question

7．已知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且點(diǎn)Q（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P（3，0），A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接PB交橢圓C于另一點(diǎn)E，請(qǐng)問(wèn)：直線AE與x軸是否相交于定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若否，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），由題意利用橢圓定義及性質(zhì)求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由題意知直線PB的斜率k（k≠0）存在，直線PB的方程為y=k（x-3），與橢圓聯(lián)立得到（2+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線斜率，結(jié)合題設(shè)條件能求出直線AE與x軸相交于定點(diǎn)（1，0）．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）．
由題意，2a=|QF₁|+|QF₂|=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{2}{\sqrt{3}}）^{2}}$+$\frac{2}{\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$，…（2分）
解得a=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=3-1=2．
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．…（4分）
（2）由題意知直線PB的斜率k（k≠0）存在，直線PB的方程為y=k（x-3）．
設(shè)B（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．由題意A（x₁，-y₁），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-3）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：（2+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0，…（6分）
由題意，判別式△=（-18k²）²-4（2+3k²）（27k²-6）＞0，
由韋達(dá)定理，得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{18{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{27{k}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$，…（7分）
若直線AE與x軸相交于定點(diǎn)M（m，0），則A（x₁，-y₁）、M（m，0）、E（x₂，y₂）三點(diǎn)共線．
從而k_AM=k_AE，即$\frac{{y}_{1}}{m-{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，…（8分）
解得m=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{1}}$+x₁=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$，…（9分）
∴$m=\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}•k（{x}_{1}-3）+{x}_{1}•k（{x}_{2}-3）}{k（{x}_{2}-3）+k（{x}_{1}-3）}$=$\frac{2{x}_{2}{x}_{1}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-6}$…（11分）
=$\frac{2•\frac{27{k}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}-3•\frac{18{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}}{\frac{18{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}-6}$=1．…（13分）
∴直線AE與x軸相交于定點(diǎn)（1，0）．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、直線斜率等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．