Question

2．已知函數(shù)f（x）=x²+a（x+lnx），a＜0．
（1）若當a=-1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）＞$\frac{1}{2}$（e+1）a（e為自然對數(shù)的底數(shù)），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），令f′（x）＞0，f′（x）＜0解出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的最小值f_min（x），令f_min（x）＞$\frac{1}{2}$（e+1）a解出a的范圍．

解答 解：（1）a=-1時，f（x）=x²-x-lnx，
f′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$．
令f′（x）=0得x=-$\frac{1}{2}$（舍）或x=1．
∴當0＜x＜1時，f′（x）＜0，當x＞1時，f′（x）＞0．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）．
（2）f′（x）=2x+a+$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}+ax+a}{x}$．
令f′（x）=0得x=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$或x=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$（舍）．
∴當0＜x＜$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$時，f′（x）＜0，當x＞$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$時，f′（x）＞0．
∴f（x）在（0，$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$，+∞）上單調(diào)遞增．
∴f_min（x）=f（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$）．
設(shè)$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$=t，則2t²+at+a=0，∴t²=$\frac{-at-a}{2}$．
∴f（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$）=f（t）=t²+at+alnt=$\frac{-at-a}{2}$+at+alnt=$\frac{1}{2}$at-$\frac{1}{2}$a+alnt．
∵f（x）＞$\frac{1}{2}$（e+1）a，∴$\frac{1}{2}$at-$\frac{1}{2}$a+alnt＞$\frac{1}{2}$（e+1）a，
∵a＜0，∴$\frac{1}{2}$t+lnt＜$\frac{e}{2}$+1，∴t＜e．
即0＜$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$＜e，解得-$\frac{2{e}^{2}}{e+1}$＜a＜0．

點評 本題考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計算，屬于中檔題．