Question

7．如圖，已知三棱錐A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB中點，D為PB中點，且△PMB為正三角形．
（Ⅰ）求證：平面ABC⊥平面APC；
（Ⅱ）若BC=1，AB=4，求三棱錐D-PCM的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在平面ABC內直線AP⊥BC，BC⊥AC，即可證明BC⊥面APC，從而證得平面ABC⊥平面APC；
（Ⅱ）利用等體積轉化，即可求三棱錐D-PCM的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵△PMB為正三角形，D為PB的中點，
∴MD⊥PB，∴AP⊥PB
又∵AP⊥PC，PB∩PC=P，
∴AP⊥面PBC-------------------------（3分）
∵BC?面PBC，∴AP⊥BC
又∵BC⊥AC，AC∩AP=A，
∴BC⊥面APC．
∵BC?面ABC，
∴平面ABC⊥平面APC-------------------------（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）題意可知，AP⊥面PBC，$PA=2\sqrt{3}$，∴$MD=\sqrt{3}$，-------------------------（8分）
${S_{△PCD}}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$-------------------------（10分）
∴${V_{D-PCM}}={V_{M-PCD}}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}=\frac{1}{4}$-------（12分）

點評 本題考查直線與平面的平行，三棱錐的體積，平面與平面垂直的判定，是中檔題．