Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且有2f（x）+xf'（x）＞x²，則不等式（x+2016）²f（x+2016）-9f（-3）＜0的解集為（　　）

• A． （-2019，-2016）
• B． （-2019，2016）
• C． （-2019，+∞）
• D． （-∞，-2019）

Answer 1

分析 通過(guò)觀察2f（x）+xf′（x）＞x²，不等式的左邊像一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，又直接寫(xiě)不出來(lái)，對(duì)該不等式兩邊同乘以x，得到2xf（x）+x²f′（x）＜x³，這時(shí)不等式的左邊是（x²f（x））′，所以構(gòu)造函數(shù)F（x）=x²f（x），則能判斷該函數(shù)在（-∞，0）上是減函數(shù)；
再由F（x+2016）=（x+2016）²f（x+2016），F(xiàn)（-3）=9f（-3），且不等式（x+2016）²f（x+2016）-9f（-3）＜0可變成F（x+2014）＜F（-3），解這個(gè)不等式即可，這個(gè)不等式利用F（x）的單調(diào)性可以求解．

解答 解：由2f（x）+xf′（x）＞x²，（x＜0）；
得：2xf（x）+x²f′（x）＜x³，
即[x²f（x）]′＜x³＜0；
令F（x）=x²f（x）；
則當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，即F（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
∴F（x+2016）=（x+2016）²f（x+2016），F(xiàn)（-3）=9f（-3）；
即不等式等價(jià)為F（x+2016）-F（-3）＜0；
∵F（x）在（-∞，0）是減函數(shù)；
∴由F（x+2016）＜F（-3）得，x+2016＞-3，∴x＞-2019；
又x+2016＜0，∴x＜-2016；
∴-2019＜x＜-2016．
∴原不等式的解集是（-2019，-2016）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)的求法，而構(gòu)造函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．