Question

8．已知函數(shù)f（x）=x³-x²+a，
 （1）求f（x）的極值；
（2）當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線(xiàn)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；
（2）由題意可知：曲線(xiàn)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，則．a(chǎn)＜0或a-$\frac{4}{27}$＞0時(shí)，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）=x³-x²+a，求導(dǎo)f′（x）=3x²-2x，
令f′（x）=0，解得：x=0，x=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)x變化時(shí)，f（x），f′（x）變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（-0，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{3}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴f（x）的極大值是f（0）=a，極小值是f（$\frac{2}{3}$）=a-$\frac{4}{27}$，
（2）由（1）可知，取足夠大的正數(shù)時(shí)，有f（x）＞0，取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)有f（x）＜0，
結(jié)合f（x）的單調(diào)性可知：
a＜0或a-$\frac{4}{27}$＞0時(shí)，曲線(xiàn)y=f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，
∴當(dāng)a∈（-∞，0）∪（$\frac{4}{27}$，+∞）時(shí)，曲線(xiàn)y=f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性與極值的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．