Question

20．已知曲線C的極坐標方程為ρ-4cosθ=0，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l過點M（1，0），傾斜角為$\frac{π}{6}$．
（1）求曲線C的直角坐標方程與直線l的標準參數(shù)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點，求|MA|+|MB|．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，即可得出曲線C的直角坐標方程；由直線l過點M（1，0），傾斜角為$\frac{π}{6}$，可得參數(shù)方程．
（2）把直線l代入圓的直角坐標方程x²+y²-4x=0，化簡后利用韋達定理可求t₁+t₂，t₁t₂的值，由|MA|+|MB|=|t₁-t₂|即可求值得解．

解答 解：（1）對于C：由ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，∴x²+y²=4x，可得圓C的圓心為（2，0），半徑為2，
直線l過點M（1，0），傾斜角為$\frac{π}{6}$，參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；
（2）設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂
將直線l的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程x²+y²-4x=0，
化簡得t²-$\sqrt{3}t$-3=0，
∴t₁+t₂=$\sqrt{3}$，t₁t₂=-3，
∴|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{3+12}$=$\sqrt{15}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線參數(shù)方程、弦長公式，考查了計算能力，屬于中檔題．