Question

6．已知在平面直角坐標系xOy中的雙曲線C，它的中心在原點，焦點在x軸上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左、右焦點，F(xiàn)₁（-5，0），離心率為5．
（Ⅰ）求雙曲線C的標準方程；
（Ⅱ）在雙曲線右支上一點P滿足|PF₁|+|PF₂|=14，試判定△PF₁F₂的形狀．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用，F(xiàn)₁（-5，0），離心率為5，求出a，b，c，即可求雙曲線C的標準方程；
（Ⅱ）在雙曲線右支上一點P滿足|PF₁|+|PF₂|=14，根據雙曲線的定義，|PF₁|-|PF₂|=2a=2，利用勾股定理判定△PF₁F₂的形狀．

解答 解：（Ⅰ）設雙曲線的方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，由題可知c=5，
∵$e=\frac{c}{a}=5$，∴a=1，∴b²=c²-a²=24，…（2分）
∴雙曲線的方程為${x^2}-\frac{y^2}{24}=1$；…（4分）
（Ⅱ）根據雙曲線的定義，|PF₁|-|PF₂|=2a=2；…（6分）
∵|PF₁|+|PF₂|=14∴|PF₁|=8，|PF₂|=6，…（8分）
又∵|F₁F₂|=2c=10，
∴$|P{F_1}{|^2}+|P{F_2}{|^2}=|{F_1}{F_2}{|^2}$，
∴△PF₁F₂是直角三角形．…（10分）

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查雙曲線的定義，屬于中檔題．