Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+3x²-6ax-11，g（x）=3x³+6x+12，直線l：y=kx+9，又f′（-1）=0
（1）求函數(shù)f（x）=ax³+3x²-6ax-11在區(qū)間（-2，3）上的極值；
（2）是否存在k的值，使直線l既是曲線y=f（x）的切線，又是曲線y=g（x）的切線，如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，由f'（-1）=0，可求a，代入可求導(dǎo)數(shù)的符號，進(jìn)而可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到極值；
（2）由直線l：y=kx+9過定點(diǎn)（0，9），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得g（x）切線方程，然后又由f'（x）=12得-6x²+6x+12=12可得x=0或x=1，同理可求f（x）的切線方程，進(jìn)而可確定公切線．

解答：解：（1）f'（x）=3ax²+6x-6a，由f'（-1）=0，即3a-6-6a=0，得a=-2，
∴f（x）=-2x³+3x²+12x-11．
令f'（x）=-6x²+6x+12=0，解得x=-1或x=2
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）在區(qū)間（-2，3）上的變化情況如下表：

x	（-2，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	-18	單調(diào)遞增	9	單調(diào)遞減

從上表可知，當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）在區(qū)間（-2，3）上有極小值，極小值為-18，
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）在區(qū)間（-2，3）上有極大值，極大值為9；
（2）∵直線m恒過點(diǎn)（0，9）．
先求直線m是y=g（x） 的切線．設(shè)切點(diǎn)為(x0，3x02+6x0+12)，
∵g'（x₀）=6x₀+6．
∴切線方程為y-(3x02 +6x0+12)=(6x0+6)(x-x0)，
將點(diǎn)（0，9）代入得x₀=±1．
當(dāng)x₀=-1時(shí)，切線方程為y=9； 當(dāng)x₀=1時(shí)，切線方程為y=12x+9．
由f'（x）=0得-6x²+6x+12=0，即有x=-1，x=2
當(dāng)x=-1時(shí)，y=f（x）的切線y=-18，
當(dāng)x=2時(shí)，y=f（x）的切線方程為y=9，
∴y=9是公切線，
又由f'（x）=12得-6x²+6x+12=12
∴x=0或x=1，
當(dāng)x=0時(shí)y=f（x）的切線為y=12x-11；
當(dāng)x=1時(shí)y=f（x）的切線為y=12x-10，
∴y=12x+9不是公切線．
綜上所述 k=0時(shí)y=9是兩曲線的公切線．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值即為改點(diǎn)的切線的斜率，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值求解中的應(yīng)用．屬于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識的綜合應(yīng)用．