Question

4．如圖，已知△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=$\frac{π}{2}$，點D是BC的中點，若向量$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+m$\overrightarrow{AC}$，且點M在△ACD的內部（不含邊界），則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$的取值范圍是（　　）

• A． （-2，4）
• B． （-2，6）
• C． （0，4）
• D． （0，6）

Answer 1

分析 在AB上取點P使得AP=$\frac{1}{4}AB$=1，以AP，AC為鄰邊方向作平行四邊形，根據(jù)M的位置判斷m的取值范圍，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{BM}$，代入數(shù)量積運算得出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$關于m的函數(shù)，求出該函數(shù)的值域即可．

解答 解：在AB上取點P使得AP=$\frac{1}{4}AB$，
過P作PN∥AC交AD于Q，交BC于N，分別作AB的平行線NF，EQ．
則M在線段NQ上（不含端點），
∵AB=AC=4，D為BC的中點，
∴AD平分∠BAC．
∴AE=AP=$\frac{1}{4}$AB=1，
$\frac{NP}{AC}=\frac{BP}{AB}=\frac{3}{4}$，∴NP=3，
∴AF=3．
∵$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+m$\overrightarrow{AC}$，
∴$\frac{1}{4}$＜m＜$\frac{3}{4}$．
∵$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}$=-$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+m\overrightarrow{AC}$，
又$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$=（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+m$\overrightarrow{AC}$）•（-$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+m\overrightarrow{AC}$）=-$\frac{3}{16}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+m²${\overrightarrow{AC}}^{2}$=16m²-3，
∵$\frac{1}{4}$＜m＜$\frac{3}{4}$，∴-2＜16m²-3＜6．
故選B．

點評 本題考查了平面向量線性運算的幾何意義，平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．