Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+4x+b，（a＜0，b＜0，a，b∈Z），設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=x的兩實數(shù)根為α，β，且|α-β|=1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）問是否存在實數(shù)m，n（m＜n），使得f（x）的定義域和值域都是[m，n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）=x的兩實根為α、β，可列出方程用a，b表示兩根α，β，根據(jù)|α-β|=1，可求出a、b滿足的關(guān)系式．根據(jù)a、b均為負(fù)整數(shù)，從而求出f（x）解析式；
（2）先假設(shè)存在實數(shù)m，n滿足題意，對函數(shù)解析式進(jìn)行配方后求出函數(shù)的最大值，進(jìn)而求出n的范圍，再判斷出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合值域列出方程組求解．

解答：解：（1）由于α，β方程為f（x）=x即ax²+3x+b=0的兩實數(shù)根，
∴

α+β=- 3 a αβ= b a   |α-β|=1

∴a²+4ab-9=0；
∵a、b均為負(fù)整數(shù)，a²+4ab-9=0，
∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
∴f（x）=-x²+4x-2；
（2）假設(shè)存在實數(shù)m，n滿足題意，
由題意得f（x）=-x²+4x-2=-（x-2）²+2，
∵函數(shù)f（x）的值域為[m，n]，∴m＜n≤2，
則區(qū)間[m，n]在對稱軸x=2的左邊，
∴函數(shù)f（x）在[m，n]單調(diào)遞增，
∴

f(m)=m  f(n)=n

，即

-(m-2)2+2=m -(n-2)2+2=n

，
解得

m=1 n=2

，
故存在m=1，n=2滿足題意．

點評：本題考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查了確定函數(shù)式，方程與函數(shù)的關(guān)系，以及求一元二次方程的求根公式的應(yīng)用．