Question

（2010•深圳二模）設(shè)P是邊長為a的正△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，P點(diǎn)到三邊的距離分別為h₁、h₂、h₃，則h1+h2+h3=

3

2

a；類比到空間，設(shè)P是棱長為a的空間正四面體ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，則P點(diǎn)到四個面的距離之和h₁+h₂+h₃+h₄=

6

3

a

．

Answer 1

分析：由平面圖形的性質(zhì)向空間物體的性質(zhì)進(jìn)行類比時，常用的思路有：由平面圖形中點(diǎn)的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì)．固我們可以根據(jù)已知中平面幾何中，關(guān)于線的性質(zhì)“正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊距離之和是一個定值”，推斷出一個空間幾何中一個關(guān)于面的性質(zhì)．

解答：解：類比P是邊長為a的正△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，
本題可以用一個正四面體來計算一下棱長為a的三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)到各個面的距離之和，
如圖：
由棱長為a可以得到BF=

3

2

a，BO=AO=

6

3

a-OE，
在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可以得到
BO²=BE²+OE²，
把數(shù)據(jù)代入得到OE=

6

12

a，
∴棱長為a的三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)到各個面的距離之和4×

6

12

a=

6

3

a，
故答案為：

6

3

a．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是類比推理，類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）．