Question

20．已知函數(shù)f（x）=log_a（3x²-2ax）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（0，$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 由對(duì)數(shù)函數(shù)定義域求出x＜0或x＞$\frac{2a}{3}$，當(dāng)a＞1時(shí)，y=3x²-2ax必須是減函數(shù)，但是不能保證在[$\frac{1}{2}$，1]大于0；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=3x²-2ax在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1]上是增函數(shù)，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=log_a（3x²-2ax），
∴a＞0，3x²-2ax＞0，∴x＜0或x＞$\frac{2a}{3}$，
當(dāng)a＞1時(shí)，∵函數(shù)f（x）=log_a（3x²-2ax）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1]上是減函數(shù)，
∴y=3x²-2ax必須是減函數(shù)，但是不能保證在[$\frac{1}{2}$，1]大于0，∴舍去
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=3x²-2ax在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1]上是增函數(shù)，
∴$\frac{2a}{3}$＜$\frac{1}{2}$，再由0＜a＜1，解得0＜a＜$\frac{3}{4}$．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{3}{4}$）．
故答案為：（0，$\frac{3}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，涉及到對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．