Question

10．設(shè)f（n）=（$\frac{1+i}{1-i}$）ⁿ+（$\frac{1-i}{1+i}$）ⁿ（n∈N^*），則集合{f（n）}中元素的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 無(wú)數(shù)個(gè)

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)$\frac{1+i}{1-i}$與$\frac{1-i}{1+i}$，再根據(jù)i的性質(zhì)，計(jì)算f（n）的值．

解答 解：化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)$\frac{1+i}{1-i}$=$\frac{（1+i）（1+i）}{（1-i）（1+i）}$=i，
$\frac{1-i}{1+i}$=$\frac{（1-i）（1-i）}{（1+i）（1-i）}$=-i，
∴f（n）=（$\frac{1+i}{1-i}$）ⁿ+（$\frac{1-i}{1+i}$）ⁿ
=iⁿ+（-i）ⁿ，
根據(jù)i的性質(zhì)，對(duì)指數(shù)是1，2，3，4四個(gè)數(shù)字進(jìn)行檢驗(yàn)即可，
∵f（1）=0，f（2）=-2，
f（3）=0，f（4）=2；
∴集合{f（n）}中共有3個(gè)元素．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)與運(yùn)算問(wèn)題，也考查了虛數(shù)單位的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．