Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，AB=2$\sqrt{2}$，BC=2，點P在底面上的射影在AC上，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點．
（Ⅰ）證明：DE⊥平面PAC；
（Ⅱ）在PC邊上是否存在點M，使得FM∥平面PDE？若存在，求出$\frac{PM}{MC}$的值；不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意和向量法可證AC⊥DE，再由題意和線面垂直的性質(zhì)可得DE⊥平面PAC；
（Ⅱ）當(dāng)點M在PC邊上且滿足$\frac{PM}{MC}$=3時，F(xiàn)M∥平面PDE，作MN∥PD交CD與N，連接NF，可證平面MNF∥平面PDE，由面面平行的性質(zhì)可得．

解答 （Ⅰ）證明：由題意可得|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{AD}$|=2，且$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DE}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-${\overrightarrow{AD}}^{2}$
=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-${\overrightarrow{AD}}^{2}$=$\frac{1}{2}$×8-0-4=0，
∴$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{DE}$，即AC⊥DE，又點P在底面上的射影在AC上，
∴平面PAC⊥平面ABCD，又AC為平面PAC與平面ABCD的交線，
DE?平面ABCD，∴DE⊥平面PAC；
（Ⅱ）當(dāng)點M在PC邊上且滿足$\frac{PM}{MC}$=3時，F(xiàn)M∥平面PDE，下面證明：
作MN∥PD交CD與N，連接NF，在底面矩形中可證NF∥DE，
由MN∥PD可得MN∥平面PDE，由NF∥DE可得NF∥平面PDE，
再由MN和NF相交可得平面MNF∥平面PDE，
又MF?平面MNF，∴FM∥平面PDE．

點評 本題考查直線和平面平行和垂直的判定，作輔助線是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．