Question

若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意正整數(shù)n都有6S_n=1-2a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=（-1）^n-1•

4(n+1)

log 1 2 an•log 1 2 an+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專(zhuān)題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意，先求a₁，再化簡(jiǎn)6（S_n-S_n-1）=（1-2a_n）-（1-2a_n-1），從而可得a_n=

1

8

•（

1

4

）^n-1=

1

2

•（

1

4

）ⁿ，
（2）先化簡(jiǎn)log

1

2

1

2

•(

1

4

)n=2n+1，從而可得b_n=（-1）^n-1•

4(n+1)

(2n+1)(2n+3)

，分n為偶數(shù)、奇數(shù)討論即可．

解答： 解：（1）∵6S_n=1-2a_n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，6a₁=1-2a₁，解得，a₁=

1

8

，
當(dāng)n≥2時(shí)，6（S_n-S_n-1）=（1-2a_n）-（1-2a_n-1），
即a_n=

1

4

a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以

1

8

為首項(xiàng)，

1

4

為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=

1

8

•（

1

4

）^n-1=

1

2

•（

1

4

）ⁿ，
（2）∵log

1

2

1

2

•(

1

4

)n=2n+1，
故b_n=（-1）^n-1•

4(n+1)

log 1 2 an•log 1 2 an+1

=（-1）^n-1•

4(n+1)

(2n+1)(2n+3)

，
∵當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
b_n-1+b_n=

4n

(2n-1)(2n+1)

-

4(n+1)

(2n+1)(2n+3)

=

4

(2n-1)(2n+3)

=

1

2n-1

-

1

2n+3

，
故T_n=b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_n-1+b_n
=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_n-1+b_n）
=

1

3

-

1

7

+

1

7

-

1

11

+…+

1

2n-1

-

1

2n+3

=

1

3

-

1

2n+3

=

2n

3(2n+3)

，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
T_n=b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_n-2+b_n-1+b_n
=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_n-2+b_n-1）+b_n
=

1

3

-

1

7

+

1

7

-

1

11

+…+

1

2n-3

-

1

2n+1

+

4(n+1)

(2n+1)(2n+3)

=

1

3

-

1

2n+1

+

4(n+1)

(2n+1)(2n+3)

=

2(n+3)

3(2n+3)

．
故T_n=

2n 3(2n+3) ，n為偶數(shù) 2(n+3) 3(2n+3) ，n為奇數(shù)

n∈N^*．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．