Question

4．已知以點(diǎn)C為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A（-1，2）和點(diǎn)B（3，4），且圓心在直線x+3y-15=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P在圓C上，求△PAB的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出圓心與半徑，即可求圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P在圓C上，求出高的最大值，弦AB的長，即可求△PAB的面積的最大值．

解答 解：（1）取弦AB的中點(diǎn)M，則M的坐標(biāo)為（1，3），
∵A（-1，2），B（2，4）∴${k_{AB}}=\frac{4-2}{3-（-1）}=\frac{1}{2}$，∴k_CM=-2，
∴直線CM的方程為：y-3=-2（x-1），即2x+y-5=0，…（2分）
∵圓心在直線x+3y-15=0上，∴$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y-5=0}\\{x+3y-15=0}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=5}\end{array}}\right.$，即C（0，5），…（4分）
∴半徑$r=\sqrt{{{（0+1）}^2}+{{（5-2）}^2}}=\sqrt{10}$，∴圓C的方程為：x²+（y-5）²=10；…（6分）
（2）設(shè)△PAB的高為h，
由（1）可知${k_{AB}}=\frac{1}{2}$，∴直線AB的方程為：$y-4=\frac{1}{2}（x-3）$，即x-2y+5=0，…（7分）∵$|{CM}|=\frac{{|{-2×5+5}|}}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}=\sqrt{5}$，…（9分）
∴${h_{max}}=|{CM}|+r=\sqrt{5}+\sqrt{10}$，…（10分）
又$|{AB}|=\sqrt{{{（3+1）}^2}+{{（4-2）}^2}}=2\sqrt{5}$，…（12分）
∴$S{\;}_{max}=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×（\sqrt{5}+\sqrt{10}）=5+5\sqrt{2}$，…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．