Question

已知

a

=（1，2cosx），

b

=（sin（2x+

π

6

），cosx），f（x）=

a

•

b

（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）說明f（x）的圖象是由g（x）=

3

sin2x的圖象如何變換得到的？
（3）求f（x）在（0，

π

2

）上的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積公式，結(jié)合三角恒等變換公式化簡，得f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）+1．再由三角函數(shù)的周期公式和單調(diào)區(qū)間公式加以計(jì)算，即可得到f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象平移的公式，結(jié)合題意可得將g（x）=

3

sin2x的圖象平移到f（x）的圖象的方法；
（3）因?yàn)閤∈（0，

π

2

）時2x+

π

3

∈（

π

3

，

4π

3

），結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可算出函數(shù)f（x）在（0，

π

2

）上的值域．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=sin（2x+

π

6

）+2cos2x=

3

sin（2x+

π

3

）+1
∵ω=2，∴最小正周期T=

2π

ω

=π，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ（k∈Z）
∴單調(diào)遞增區(qū)間為[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]．（k∈Z）…（4分）
（2）∵將g（x）=

3

sin2x的圖象向左平移

π

6

個單位，得到y(tǒng)=

3

sin（2x+

π

3

）的圖象
再將所得圖象向上平移1個單位，得到y(tǒng)=

3

sin（2x+

π

3

）+1．
∴f（x）的圖象是由g（x）=

3

sin2x的圖象先向左平移

π

6

個單位，再向上平移1個單位而得…（8分）
（3）當(dāng)x∈（0，

π

2

）時，2x+

π

3

∈（

π

3

，

4π

3

），
可得sin（2x+

π

3

）∈（-

3

2

，1]，
∴

3

•（-

3

2

）+1＜f（x）≤

3

•1+1，
可得f（x）在（0，

π

2

）上的值域?yàn)椋?

1

2

，

3

+1]．…（12分）

點(diǎn)評：本題給出數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果作為f（x）的函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性、周期性與值域．著重考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換和三角恒等變換等知識，屬于中檔題．