Question

16．已知向量$\overrightarrow a=（sin\frac{ωx}{2}，-sin\frac{ωx}{2}），\overrightarrow b=（cos\frac{ωx}{2}，sin\frac{ωx}{2}）（ω＞0）$，函數(shù)$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$，x₁，x₂是函數(shù)f（x）的任意兩個相異零點(diǎn)，且|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-m在$（0，\frac{π}{2}）$上無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量乘積的關(guān)系求出f（x），然后將函數(shù)f（x）化簡，令f（x）=0，表示兩個零點(diǎn)的關(guān)系式，利用|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$．即可求ω的值．
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=f（x）-m在$（0，\frac{π}{2}）$上無零點(diǎn)，即y=f（x）與y=m的圖象在$（0，\frac{π}{2}）$上無交點(diǎn)，求出f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$的最值即可m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意：函數(shù)$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$，向量$\overrightarrow a=（sin\frac{ωx}{2}，-sin\frac{ωx}{2}），\overrightarrow b=（cos\frac{ωx}{2}，sin\frac{ωx}{2}）（ω＞0）$，
可得：$f（x）=sin\frac{ωx}{2}cos\frac{ωx}{2}-{sin^2}\frac{ωx}{2}=\frac{1}{2}sinωx+\frac{1}{2}cosωx-\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（ωx+\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}$．
 令f（x）=0
可得：$sin（ωx+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
則有：$sin（ω{x_1}+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，sin（ω{x_2}+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
當(dāng)|x₁-x₂|最小時，可取$ω{x_1}+\frac{π}{4}=\frac{π}{4}，ω{x_2}+\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}$
令${x_1}=0，{x_2}=\frac{π}{2ω}$，則有：$|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{π}{2ω}$，
因?yàn)?{|{{x_1}-{x_2}}|_{min}}=\frac{π}{2}$，即：$\frac{π}{2ω}=\frac{π}{2}$，
解得：ω=1
所以ω的值為：1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（x+\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}$
 g（x）=f（x）-m在$（0，\frac{π}{2}）$上無零點(diǎn)，即y=f（x）與y=m的圖象在$（0，\frac{π}{2}）$上無交點(diǎn)．
∵$x∈（0，\frac{π}{2}）$
∴$x+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$
故得$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（x+\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}∈（0，\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}]$
因此：實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，0]∪（$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相鄰之間零點(diǎn)距離的問題的轉(zhuǎn)化．利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵，零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)之間的交點(diǎn)問題．屬于中檔題．