Question

某電視廠家有A，B兩種型號的電視機參加家電下鄉(xiāng)活動．若廠家投放A，B型號電視機的價值分別為p，q萬元．農(nóng)民購買電視機獲得相應(yīng)的補貼分別為

1

10

p，mln（q+1）（m＞0）萬元．若廠家把總價值為10萬元的A，B兩型號電視機投放市場，且A，B兩型號的電視機投放金額都不低于1萬元．
（1）當(dāng)m=

2

5

時，請你制定一個投放方案，使得在這次活動中農(nóng)民得到的補貼最多，并求出其最大值；（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)，ln4=1.4）
（2）當(dāng)m∈（

1

5

，1）時，試討論農(nóng)民得到的補貼隨廠家投放B型號電視機金額的變化而變化的情況．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）將m=

2

5

代入到mln（q+1）中得到農(nóng)民購買B種型號電視機獲得相應(yīng)的補貼為

2

5

ln（q+1）．然后設(shè)出農(nóng)民得到的補貼為y元，令y′=0，并根據(jù)增減性判斷出y有最大值求出即可．
（2）設(shè)投放B型號電視機金額為b，求得函數(shù)、分類討論，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，確定y在[1，9]上單調(diào)性，故可得結(jié)論．

解答： 解；（1）當(dāng)m=

2

5

時，農(nóng)民購買B種型號電視機獲得相應(yīng)的補貼為

2

5

ln（q+1）．
設(shè)廠家投放市場A、B兩種型號的電視機的價值分別為x萬元，（10-x）萬元，這次活動中農(nóng)民得到的補貼為y萬元，則y=

x

10

+

2

5

ln（11-x），
然后令y′=0得：

1

10

-

2

55-5x

=0，
解得：x=7，
∵1＜x＜7時，y′＞0，y是增函數(shù)；7＜x＜11時，y′＜0，y是減函數(shù)．
∴x=7時，y有最大值，y_max=

7

10

+

2

5

ln4≈1.26萬元；
（2）設(shè)投放B型號電視機金額為b，
這次活動中農(nóng)民得到的補貼為y=

10-b

10

+mln（1+b），y′=-

1

10

+

m

1+b

=

10m-(1+b)

10(1+b)

當(dāng)m∈（

1

5

，1）時，10m∈（2，10），1≤b≤9，
∴10m≥1+b時，y'＞0，∴y在[1，9]上是增函數(shù)，因此隨B型電視機投放金額x的增加，農(nóng)民得到的補貼逐漸增加；
10m＜1+b時，y'＜0，∴y在[1，9]上是減函數(shù)，因此隨B型電視機投放金額x的增加，農(nóng)民得到的補貼逐漸減少．

點評：本題以實際問題為素材，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查學(xué)生分析解決問題的能力，同時考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，綜合性強．