Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}的前5項的和為55，且a₆+a₇=36．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}-6）（{a}_{n}-4）}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列通項公式和前n項和公式列出方程組，求出首項與公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}-6）（{a}_{n}-4）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用裂項求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的前5項的和為55，且a₆+a₇=36，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=55}\\{{a}_{1}+5d+{a}_{1}+6d=36}\end{array}\right.$，
解得a₁=7，d=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=7+（n-1）×2=2n+5．
（2）b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}-6）（{a}_{n}-4）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和：
S_n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運(yùn)用．