Question

11．已知實數(shù)a，b，c，d滿足$\frac{a-{e}^{a}}$=$\frac{1+c}{d-1}$=1，其中e是自然對數(shù)的底，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由已知得點（a，b）在曲線y=x-e^x上，點（c，d）在曲線y=2+x上，（a-c）²+（b-d）²的幾何意義就是曲線y=x-e^x到曲線y=2+x上點的距離的平方．求出曲線上和直線y=x+t相切的切點，由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答 解：∵實數(shù)a，b，c，d滿足$\frac{a-{e}^{a}}$=$\frac{1+c}{d-1}$=1，
∴b=a-e^a，d=2+c，
∴點（a，b）在曲線y=x-e^x上，點（c，d）在曲線y=2+x上，
（a-c）²+（b-d）²的幾何意義就是曲線y=x-e^x到曲線y=2+x上點的距離的平方．
考查曲線y=x-e^x上和直線y=2+x平行的切線，
∵y′=1-e^x，求出y=x-e^x上和直線y=2+x平行的切線方程，
∴令y′=1-e^x=1，
解得x=0，∴切點為（0，-1），
該切點到直線y=2+x的距離d=$\frac{|0+2+1|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
就是所要求的兩曲線間的最小距離，
故（a-c）²+（b-d）²的最小值為d²=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意兩點間距離公式的合理運(yùn)用．