Question

6．已知曲線y=e^-x；
①若曲線在點(diǎn)P處的切線平行于直線2x+y+1=0，則P點(diǎn)坐標(biāo)是（-ln2，2）；
②若曲線在點(diǎn)P處的切線垂直于直線ex-y+1=0，則P點(diǎn)坐標(biāo)是（1，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 ①設(shè)P（m，n），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，運(yùn)用兩直線平行的條件：斜率相等，計(jì)算即可得到所求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②設(shè)P（s，t），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，計(jì)算即可得到所求點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：①設(shè)P（m，n），由y=e^-x的導(dǎo)數(shù)y′=-e^-x，
曲線在點(diǎn)P處的切線斜率為k=-e^-m，
由切線平行于直線2x+y+1=0，可得-e^-m=-2，
解得m=-ln2，n=e^ln2=2，可得P（-ln2，2）；
②設(shè)P（s，t），由y=e^-x的導(dǎo)數(shù)y′=-e^-x，
曲線在點(diǎn)P處的切線斜率為k=-e^-s，
由切線垂直于直線ex-y+1=0，可得-e^-s=-$\frac{1}{e}$，
解得s=1，t=e^-1，可得P（1，$\frac{1}{e}$）．
故答案為：（-ln2，2），（1，$\frac{1}{e}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，同時(shí)考查兩直線平行或垂直的條件，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．