Question

3．若函數(shù)f（x）=a^x+ka^-x（a＞0且a≠1）在R上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則g（x）=log_a|x+k|的圖象是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）是奇函數(shù)得出k=-1，根據(jù)f（x）是增函數(shù)可得a＞1，得出g（x）的解析式，判斷g（x）的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間．

解答 解：∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=1+k=0，∴k=-1．∴f（x）=a^x-$\frac{1}{{a}^{x}}$，
∴當(dāng)a＞1時，f（x）是增函數(shù)，當(dāng)0＜a＜1時，f（x）是減函數(shù)，
∵f（x）是R上的增函數(shù)，∴a＞1．
∴g（x）=log_a|x-1|．（a＞1）．
∴g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，1）上是減函數(shù)．
故選A．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，屬于中檔題．