已知函數(shù)f(x)=
13
x3+bx2+cx（b、c為常數(shù)）的兩個極值點分別為α、β，f（x）在點（-1，f（-1））處切線為l1，其斜率為k1；在點（1，f（1））處的切線為l2，其斜率為k2．
（1）若l1⊥l2，|α-β|=1，求b，c；
（2）若α∈（-3，-2），β∈（0，1），求k1的取值范圍．
分析：（1）先求出導函數(shù)，再利用l1⊥l2⇒f'（-1）f'（1）=-1找到（2b+c+1）（-2b+c+1）=-1①；再利用α、β為極值點轉(zhuǎn)化為導函數(shù)=0的根和|α-β|=1，找出4b2-4c=1  ②，共同解得b，c．
（2）α∈（-3，-2），β∈（0，1）說明f'（x）=x2+2bx+c=0的兩根位于（-3，-2）和（0，1），畫出對應的圖象，利用圖象找到b，c所滿足的不等式組，在利用線性規(guī)劃知識求出k1的取值范圍．
解答：解：（1）由題得f'（x）=x2+2bx+c
∵l1⊥l2，∴f'（-1）f'（1）=-1
即（2b+c+1）（-2b+c+1）=-1  ①
∵α，β是x2+2bx+c=0的兩根
∴α+β=-2b，αβ=c．
又因為|α-β|=1，
∴|α-β|2=（α+β）2-4αβ=4b2-4c=1  ②
由①②得 c=1，b=±
5
2
．
（2）∵f'（x）=x2+2bx+c，α∈（-3，-2），β∈（0，1）
∴
f′(-3)＞0
f′(-2)＜0
f′(0)＜0
f′(1)＞0
即
9-6b+c＞0
4-4b+c＜0
c＜0
1+2b+c＞0

則點P（b，c）的取值范圍如圖中陰影部分所示，
∵k1=-2b+c+1，當直線l1過點A（1，0）時k1=-1，當直線l1過點C（1，-3）時，k1=-4，
∴k1的取值范圍是（-4，-1）．（14分）
點評：本小題主要考查函數(shù)的極值、導數(shù)、不等式．線性規(guī)劃等基礎知識，考查運用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，以及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想方法，考查分析問題和解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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