Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項a₁＝1，公差d>0，且第2項、第5項、第14項分別為等比數(shù)列{b_n}的第2項、第3項、第4項．
(1)求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列{c_n}對n∈N^*，均有＋＋…＋＝a_n＋1成立，求c₁＋c₂＋c₃＋…＋c₂₀₁₄的值．

Answer 1

（1）a_n＝2n－1   b_n＝3^n－1
（2）3²⁰¹⁴

解：(1)∵a₂＝1＋d，a₅＝1＋4d，a₁₄＝1＋13d，
∴(1＋4d)²＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝2(∵d>0)．
則a_n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
又b₂＝a₂＝3，b₃＝a₅＝9，
∴等比數(shù)列{b_n}的公比q＝＝＝3.
∴b_n＝b₂q^n－2＝3×3^n－2＝3^n－1.
(2)由＋＋…＋＝a_n＋1得
當(dāng)n≥2時，＋＋…＋＝a_n，
兩式相減，得＝a_n＋1－a_n＝2，
∴c_n＝2b_n＝2×3^n－1(n≥2)．
而當(dāng)n＝1時，＝a₂，∴c₁＝3.
∴c_n＝
∴c₁＋c₂＋c₃＋…＋c₂₀₁₄
＝3＋2×3¹＋2×3²＋…＋2×3²⁰¹³
＝3＋
＝3－3＋3²⁰¹⁴
＝3²⁰¹⁴.