Question

15．（1）已知：a＞0，求證：$\sqrt{a+5}$-$\sqrt{a+3}$＞$\sqrt{a+6}$-$\sqrt{a+4}$
（2）設(shè)x，y都是正數(shù)，且x+y＞2，試用反證法證明：$\frac{1+x}{y}$＜2和$\frac{1+y}{x}$＜2中至少有一個(gè)成立．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)不等式的特點(diǎn)，利用分析法證明；
（2）結(jié)合題目結(jié)論，采用反證法證明．

解答 （1）（分析法）要證原不等式成立，
只需證 $\sqrt{a+5}+\sqrt{a+4}＞\sqrt{a+6}+\sqrt{a+3}$
即證${（\sqrt{a+5}+\sqrt{a+4}）^2}＞{（\sqrt{a+6}+\sqrt{a+3}）^2}$
只要證（a+5）（a+4）＞（a+6）（a+3）
即  證  20＞18
∵上式顯然成立，
∴原不等式成立．
（2）假設(shè)$\frac{1+x}{y}＜2$和$\frac{1+y}{x}＜2$都不成立，即$\frac{1+x}{y}≥2$，$\frac{1+y}{x}≥2$．
又∵x，y都是正數(shù)，∴1+x≥2y，1+y≥2x
兩式相加得到 2+（x+y）≥2（x+y），
∴x+y≤2．
與已知x+y＞2矛盾，
所以假設(shè)不成立，即$\frac{1+x}{y}＜2$和$\frac{1+y}{x}＜2$中至少有一個(gè)成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分析法和反證法證明不等式；（1）正面入手不容易做，可以利用分析法飛思想，即執(zhí)果索因法證明，注意格式；（2）利用了反證法證明，即否定結(jié)論，當(dāng)作已知，最后推出矛盾．