Question

已知函數f（x）=x²-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值為g（t）
（1）求函數g（t）的解析式．
（2）若對任意的t，f（x）-m＞0在x∈[t，t+1]上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數在閉區(qū)間上的最值,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由于函數f（x）=x²-2x+2的圖象的對稱軸方程為x=1，且x∈[t，t+1]，分類討論求出f（x）的最小值．
（2）由題意可得，函數f（x）的圖象恒在直線y=m的上方，根據二次函數的性質可得函數f（x）的最小值
f（1）的值，可得m的范圍．

解答： 解：（1）由于函數f（x）=x²-2x+2的圖象的對稱軸方程為x=1，x∈[t，t+1]，
當t＞1 時，函數f（x）=x²-2x+2在區(qū)間[t，t+1]上單調第增，f（x）的最小值為g（t）=f（t）=t²-2t+2．
當1∈[t，t+1]時，即0≤t≤1時，函數f（x）在區(qū)間[t，1]上單調第減，在區(qū)間[1，t+1]上單調第增，
f（x）的最小值為g（t）=f（1）=1．
當t+1＜1，即t＜0時，函數f（x）=x²-2x+2在區(qū)間[t，t+1]上單調第減，
f（x）的最小值為g（t）=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1．
綜上可得，g（t）=

t2-2t+2，t＞1 1，0≤t≤1 t2+1，t＜0

．
（2）由題意可得，對任意的t，當x∈[t，t+1]時，函數f（x）的圖象在直線y=m的上方，
故函數f（x）的圖象恒在直線y=m的上方．
根據二次函數的性質可得函數f（x）的最小值為f（1）=1，故有m＜1．

點評：本題主要考查對數函數、二次函數的性質，復合函數的單調性，函數的恒成立問題，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．