Question

11．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，在雙曲線C上存在點(diǎn)P，滿足△PF₁F₂的周長等于雙曲線C的實(shí)軸長的3倍，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\frac{3}{2}$）
• B． （0，$\frac{3}{2}$）
• C． （1，$\frac{5}{2}$）
• D． （0，$\frac{5}{2}$）

Answer 1

分析 可設(shè)P為雙曲線的右支上一點(diǎn)，|PF₁|=m，|PF₂|=n，運(yùn)用雙曲線的定義和P在右支上，有n＞c-a，結(jié)合不等式的性質(zhì)和離心率公式計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：可設(shè)P為雙曲線的右支上一點(diǎn)，
|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由雙曲線的定義可得m-n=2a，
由題意可得m+n+2c=6a，
即有2n+2a+2c=6a，
即n=2a-c，
再由P在右支上，可得n＞c-a，
即有2a-c＞c-a，即c＜$\frac{3}{2}$a，
由e=$\frac{c}{a}$，可得1＜e＜$\frac{3}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用雙曲線的定義和性質(zhì)，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．