Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²+alnx-（a+2）x（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)f（x）有極大值與極小值時(shí)，求證函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的零點(diǎn)，再進(jìn)行分類討論，從而可確定函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間．
（2）f（x）有極大值與極小值，由（1）可知，0＜a＜2或a＞2，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定理驗(yàn)證即可．

解答 解：（1）由題意得，f′（x）=2x-（a+2）+$\frac{a}{x}$=$\frac{（x-1）（2x-a）}{x}$（x＞0），
由f′（x）=0，得x₁=1，x₂=$\frac{a}{2}$
①當(dāng)0＜$\frac{a}{2}$＜1，即0＜a＜2，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜$\frac{a}{2}$或x＞1；
令f′（x）＜0，x＞0，可得$\frac{a}{2}$＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，$\frac{a}{2}$）和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（$\frac{a}{2}$，1）；
②當(dāng)$\frac{a}{2}$=1，即a=2時(shí)，f′（x）=$\frac{2（x-1）^{2}}{x}$≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，f′（x）=0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
③當(dāng)$\frac{a}{2}$＞1，即a≥2時(shí)，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜1或x＞$\frac{a}{2}$；
令f′（x）＜0，x＞0，可得1＜x＜$\frac{a}{2}$
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1）和（$\frac{a}{2}$，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（1，$\frac{a}{2}$）；
④當(dāng)$\frac{a}{2}$≤0，即a≤0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增．
（2）∵f（x）有極大值與極小值，由（1）可知，0＜a＜2或a＞2，
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1）和（$\frac{a}{2}$，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（1，$\frac{a}{2}$），
若x∈（0，$\frac{a}{2}$），f（x）≤f（1）=-a-1＜0，無(wú)零點(diǎn)，
若x∈（$\frac{a}{2}$，+∞），則f（$\frac{a}{2}$）＜f（1）＜0，
f（a+2）=aln（a+2）＞0，有一個(gè)零點(diǎn)，
則當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）有唯一的零點(diǎn)，
當(dāng)0＜a＜2函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，$\frac{a}{2}$）和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（$\frac{a}{2}$，1）；
若x∈（0，1），f（x）≤f（$\frac{a}{2}$）=a（lna-$\frac{a}{4}$-1-ln2），
有l(wèi)na＜ln2＜1，則lna-$\frac{a}{4}$-1-ln2＜0，則f（x）＜0，即f（x）在（0，1）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，
若x∈（1，+∞），則＜f（1）＜0，f（a+2）=aln（a+2）＞0，即f（x）在[1，+∞）有一個(gè)零點(diǎn)，
則當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）有唯一的零點(diǎn)，
綜上所述函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用和函數(shù)零點(diǎn)定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵，屬于中檔題．