Question

8．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分別為AD，PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAB；
（2）若PA=AB=2，求三棱錐P-AEF的體積．

Answer 1

分析 （1）取PB的中點為G，連接AG，FG，推導出EF∥AG，由此能證明EF∥平面PAB．
（2）由V_P-AEF=V_F-PAE，能求出三棱錐P-AEF的體積．

解答 證明：（1）取PB的中點為G，連接AG，FG，
∵E，F分別為AD，PC的中點，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，
∴GF$\underset{∥}{=}$AE，∴AEFG是平行四邊形，∴EF∥AG，
∵EF?平面PAB，AG?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
解：（2）∵PA=AB=2，PA⊥底面ABCD，
∴三棱錐P-AEF的體積${V_{P-AEF}}={V_{F-PAE}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1=\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．