Question

7．設(shè)P是圓x²+y²=4上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)D是點(diǎn)P在x軸上的投影，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足$\sqrt{3}$$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{MD}$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)F（-1，0），若直線(xiàn)y=kx+m與軌跡E相切于點(diǎn)Q，且與直線(xiàn)x=-4相交于點(diǎn)R，求證：以QR為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F．

Answer 1

分析 （1）求出M，P坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用代入法求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）證明$\overrightarrow{QF}$•$\overrightarrow{RF}$=0，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），P的坐標(biāo)為（x_P，y_P），
由已知得x_P=x，y_P=$\frac{2}{\sqrt{3}}$y，
∵點(diǎn)P在圓上，∴x²+（$\frac{2}{\sqrt{3}}$y）²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∴點(diǎn)M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．（4分）
（2）證明：由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
如圖，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x₀，y₀），依題意m≠0，
由△=0可得4k²+3=m²，（6分）
此時(shí)x₀=-$\frac{4k}{m}$，y₀=$\frac{3}{m}$，
∴Q（-$\frac{4k}{m}$，$\frac{3}{m}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=-4}\end{array}\right.$解得y=-4k+m，∴R（-4，-4k+m） （9分）
由F（-1，0），$\overrightarrow{QF}$=（$\frac{4k}{m}$-1，-$\frac{3}{m}$），$\overrightarrow{RF}$=（3，4k-m）
∴$\overrightarrow{QF}$•$\overrightarrow{RF}$=3（$\frac{4k}{m}$-1）-$\frac{3}{m}$•（4k-m）=0，
∴QF⊥RF．
∴以QR為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)F．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線(xiàn)的定義與性質(zhì)及向量的應(yīng)用，屬于中檔題．