Question

5．如圖所示，A，B是兩個垃圾中轉站，B在A的正東方向16千米處，AB的南面為居民生活區(qū)，為了妥善處理生活垃圾，政府決定在AB的背面建一個垃圾發(fā)電廠P，垃圾發(fā)電廠P的選址擬滿足以下兩個要求（A，B，P可看成三個點）：
①垃圾發(fā)電廠到兩個中轉站的距離與它們每天集中的生活垃圾量成反比，比例系數(shù)相同；
②垃圾發(fā)電廠應盡量遠離居民區(qū)（這里參考的指標是點P到直線AB的距離要盡可能大），現(xiàn)估測得A，B兩個中轉站每天集中的生活垃圾量分別約為30噸和50噸，設|PA|=5x＞0．
（1）求cos∠PAB（用x的表達式表示）
（2）問垃圾發(fā)電廠該如何選址才能同時滿足上述要求？

Answer 1

分析 （1）由條件可設PA=5x，PB=3x，運用余弦定理，即可得到cos∠PAB；
（2）由同角的平方關系可得sin∠PAB，求得點P到直線AB的距離h=PAsin∠PAB，化簡整理配方，由二次函數(shù)的最值的求法，即可得到所求最大值及PA，PB的值．

解答 解：（1）由條件①，得$\frac{PA}{PB}=\frac{50}{30}=\frac{5}{3}$，
∵PA=5x，∴PB=3x，
則$cos∠PAB=\frac{{{{（5x）}^2}+{{16}^2}-{{（3x）}^2}}}{2×16×5x}$，
可得$cos∠PAB=\frac{x}{10}+\frac{8}{5x}$；
（2）由同角的平方關系可得$sin∠PAB=\sqrt{1-{{（{\frac{x}{10}+\frac{8}{5x}}）}^2}}$，
所以點P到直線AB的距離h=PAsin∠PAB，
$h=5x•\sqrt{1-{{（\frac{x}{10}+\frac{8}{5x}）}^2}}$=$\sqrt{-\frac{1}{4}{{（{x^2}-34）}^2}+225}$，
∵cos∠PAB≤1，∴$\frac{x}{10}+\frac{8}{5x}≤1$，∴2≤x≤8，
所以當x²=34，即$x=\sqrt{34}$時，h取得最大值15千米．
即選址應滿足$PA=5\sqrt{34}$千米，$PB=3\sqrt{34}$千米．

點評 本題考查解三角形的數(shù)學模型的解法，注意運用余弦定理和同角的平方關系和二次函數(shù)的最值的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．