Question

【題目】如圖，在三棱錐中，是正三角形，是等腰直角三角形，，.

（1）證明：平面平面；

（2）設(shè)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連結(jié),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；

（2）由（1）可以求出三棱錐的高，根據(jù)三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.

（1）取的中點(diǎn)，連結(jié),設(shè)

是正三角形，因此有，由勾股定理可知：

.

在等腰直角三角形中，因?yàn)?/span>，所以,

.

因?yàn)?/span>，所以，

而平面，所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面；

（2）由（1）可知：平面平面，，

而平面平面，平面，

因此平面，由（1）可知，

因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為，

三棱錐的體積為，

.