Question

9．如圖所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB為直徑的圓O交AC于點E，點D是BC邊的中點，連結OD交圓O于點M．且AB=4，DE=$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求證：O、B、D、E四點共圓；
（Ⅱ）求AC的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結OE、BE，首先證明兩個三角形全等，根據(jù)三角形三邊對應相等，得到兩個三角形全等，得到對應角相等，從而得到四邊形一對對角互補，即四點共圓．
（Ⅱ）延長DO交圓O于點H，由（Ⅰ）知DE為圓O的切線，求出BC，即可求出AC．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，連結OE、BE，則BE⊥EC，又D是BC的中點，所以DE=BD，
又因為OE=OB，OD=OD，所以△ODE≌△ODB，所以∠OBD=∠OED=90°，
所以O、B、D、E四點共圓．------5
（Ⅱ）解：延長DO交圓于點H，由（Ⅰ）知DE為圓O 的切線，
所以$BD=DE=\frac{3}{2}$，所以BC=3，
又因為AB=4-----9
所以AC=5------10

點評 本題考查三角形全等，考查四點共圓，考查了圓的切線的性質定理與判定、直徑所對的圓周角等知識，屬于中檔題．