Question

20．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．圓C，直線l的極坐標方程分別為ρ=4sinθ，ρcos（θ-$\frac{π}{4}}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）求圓C與直線l的直角坐標方程，并求出直線l與圓C的交點的直角坐標；
（2）設(shè)點P為圓C的圓心，點Q為直線l被圓C截得的線段的中點．已知直線PQ的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x={t^5}+m\\ y=\frac{4}{n}{t^5}-2\end{array}$（t為參數(shù)，t∈R），求實數(shù)m，n的值．

Answer 1

分析 （1）由圓C的極坐標方程為ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代可得直角坐標方程．直線l的極坐標方程為：ρcos（θ-$\frac{π}{4}}$）=2$\sqrt{2}$，展開為$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ）=2$\sqrt{2}$，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化為直角坐標方程．把y=4-x代入圓的方程解出即可得出．
（2）由（1）知：P（0，2），Q（1，3），可得直線PQ：y=x+2，化直線PQ的參數(shù)方程為普通方程：$y=\frac{4}{n}x-\frac{4m}{n}-2$，對比系數(shù)即可得出．

解答 解：（1）由圓C的極坐標方程為ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，可得直角坐標方程：x²+y²=4y，配方為x²+（y-2）²=4．
直線l的極坐標方程為：ρcos（θ-$\frac{π}{4}}$）=2$\sqrt{2}$，展開為$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ）=2$\sqrt{2}$，化為：x+y-4=0．
把y=4-x代入圓的方程化為：x²-2x=0，解得x=0，或2．
∴交點坐標分別為（0，4），（2，2）．
（2）由（1）知：P（0，2），Q$（\frac{0+2}{2}，\frac{4+2}{2}）$即（1，3），∴直線PQ的方程為：y=x+2，
化直線PQ的參數(shù)方程為普通方程：$y=\frac{4}{n}x-\frac{4m}{n}-2$，
對比系數(shù)得：$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{n}=1}\\{-2-\frac{4m}{n}=2}\end{array}}\right.$，m=-4，n=4．

點評 本題考查了直角坐標與極坐標的互化、直線與圓相交問題、中點坐標公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．