Question

19．過點(diǎn)P（-3，0）且傾斜角為30°的直線和曲線ρ²cos2θ=4相交于A、B兩點(diǎn)．求線段AB的長．

Answer 1

分析 過點(diǎn)P（-3，0）且傾斜角為30°的直線的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．曲線ρ²cos2θ=4即ρ²（cos²α-sin²α）=4，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化為直角坐標(biāo)方程．把直線參數(shù)方程代入可得：t²-6$\sqrt{3}$t+10=0，利用|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：過點(diǎn)P（-3，0）且傾斜角為30°的直線的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
曲線ρ²cos2θ=4即ρ²（cos²α-sin²α）=4化為x²-y²=4，
把直線參數(shù)方程代入可得：t²-6$\sqrt{3}$t+10=0，
∴t₁+t₂=6$\sqrt{3}$，t₁t₂=10．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（6\sqrt{3}）^{2}-4×10}$=$2\sqrt{17}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、直線與雙曲線相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．