Question

4．若函數(shù)f（x）滿足$f（x）+1=\frac{1}{f（x+1）}$，當x∈[0，1]時，f（x）=x．若在區(qū)間（-1，1]內，g（x）=f（x）-mx-2m有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． 0＜m＜$\frac{1}{3}$
• B． 0＜m≤$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$＜m＜1
• D． $\frac{1}{3}$＜m≤1

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-mx-2m=0，即有f（x）=mx+2m，在同一坐標系內畫出y=f（x），y=mx+2m的圖象，轉化為圖象有兩個不同的交點的條件．

解答 解：當x∈（-1，0]時，x+1∈（0，1]，
則$f（x）=\frac{1}{f（x+1）}-1=\frac{1}{x+1}-1$=$\frac{-x}{x+1}$=$\frac{-（x+1）+1}{x+1}$=-1+$\frac{1}{x+1}$，
由g（x）=f（x）-mx-2m=0得f（x）=mx+2m=m（x+2），
在同一坐標系內畫出y=f（x），y=m（x+2）的圖象．

動直線y=mx+2m過定點A（-2，0），當直線過B（1，1）時，斜率m=$\frac{1}{3}$，此時兩個函數(shù)有兩個交點，
由圖象可知當0＜m≤$\frac{1}{3}$時，兩圖象有兩個不同的交點，從而g（x）=f（x）-mx-2m有兩個不同的零點，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)根的個數(shù)的判斷和應用，根據(jù)函數(shù)與方程的關系轉化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．，本題先由已知條件轉化為判斷兩函數(shù)圖象交點個數(shù)，再利用函數(shù)圖象解決．