Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax（a∈R），g（x）=lnx（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）設曲線y=f（x）在x=1處的切線為l，直線l與y=ex+3平行，求a的值；
（2）若對于任意實數(shù)x≥0，f（x）＞0恒成立，試確定實數(shù)a的取值范圍；
（3）當a=-1時，函數(shù)M（x）=g（x）-f（x）在[1，e]上是否存在極值？若存在，求出極值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（1），求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出滿足條件的a的范圍即可；
（3）求出M（x），通過求M（x）的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)有無極值即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+a，
∴f′（1）=e+a=e，解得：a=0；
（2）f′（x）=e^x+a，
a≥-1時，f′（x）≥0，f（x）遞增，
f（x）＞f（0）=1，成立，
a＜-1時，令f′（x）＞0，解得：x＞ln（-a），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ln（-a），
∴f（x）在[0，ln（-a）]遞減，在[ln（-a），+∞）遞增，
∴f（x）≥f[ln（-a）]=e^ln（-a）+aln（-a）＞0，
即a[ln（-a）-1]＞0，解得：-e＜a＜0，
綜上，a＞-e；
（3）a=-1時，f（x）=e^x-x，
∴M（x）=g（x）-f（x）=lnx-e^x+x，
M′（x）=$\frac{1}{x}$-e^x+1，M″（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-e^x＜0，
∴M′（x）在[1，e]遞減，
∴M′（x）＜M′（1）=2-e＜0，
∴M（x）在[1，e]遞減，
函數(shù)M（x）在[1，e]無極值．

點評 本題考查了函切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．