Question

15．64個正數(shù)排成8行8列，如圖所示：在符號a_ij（1≤i≤8，1≤j≤8）中，i表示該數(shù)所在的行數(shù)，j表示該數(shù)所在的列數(shù)．已知每一行中的數(shù)依次都成等差數(shù)列，每一列的數(shù)都成等比數(shù)列且每列數(shù)的公比都等于q，且a₁₁=$\frac{1}{2}$，a₂₄=1，a₃₂=$\frac{1}{4}$．
（1）求{a_ij}的通項公式；
（2）記第k行各項之和為A_k，求A₁的值及數(shù)列{A_k}的通項公式；
（3）若A_k＜1，求k的值．

Answer 1

分析 （1）設第一行的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，進而根據(jù)若a₁₁=2，a₂₄=a₃₂=16，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式可得方程組求得q和d，進而求得a_ij；
（2）A_k=a_k1+a_k2+a_k3+…+a_k8，將其通項公式代入即可求得A_k；
（3）由A_k＜1，將其通項公式代入求得k的取值范圍，可求得k的值．

解答 （1）設第一行的公差為d，各列的公比為q，
由已知：a₂₄=a₁₄•q=1，a₃₂=a₁₂q²=（a₁₁+d）•q²=$\frac{1}{4}$，
解得：d=$\frac{1}{2}$，q=$\frac{1}{2}$，
∴a_ij=a_1j•q_i-1=[a₁₁+（j-1）d]•qⁱ-1=j•（$\frac{1}{2}$）ⁱ；
（2）A₁=a₁₁+a₁₂+a₁₃+…+a₁₈=（$\frac{1}{2}$+4）×4=18，
A_k=a_k1+a_k2+a_k3+…+a_k8，
=a₁₁•q^k-1+a₁₂q^k-1+…+a₁₈q^k-1，
=q^k-1（a₁₁+a₁₂+a₁₃+…+a₁₈），
=（$\frac{1}{2}$）^k-1•18，
=$\frac{36}{{2}^{k}}$；
（3）Ak＜1，即$\frac{36}{{2}^{k}}$＜1，k＞6，k≤8，
∴k的值為6、7和8．

點評 本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式．本題主要考查了學生對等差數(shù)列和等比數(shù)列的理解和靈活運用．