Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=2n-1，設函數(shù)f（n）=

an，n為奇數(shù) f( n 2 )，n為偶數(shù)

，c_n=f（2ⁿ+4），n∈N₊，則f（4）=

 

；設數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，則T₁₀=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)解析式和a_n=2n-1求出f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1，再由c_n=f（2ⁿ+4）分別求出c₁、c₂，當n≥3時根據(jù)自變量是偶數(shù)、奇數(shù)得：c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1），代入通項公式化簡后再求出T₁₀．

解答： 解：由題意得，函數(shù)f（n）=

an，n為奇數(shù) f( n 2 )，n為偶數(shù)

，且a_n=2n-1，
∴f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1，
又∵c_n=f（2ⁿ+4），n∈N₊，
∴c₁=f（6）=f（3）=a₃=5，c₂=f（8）=f（4）=1，
當n≥3時，c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）
=a2n-2+1=2×(2n-2+1)-1=2^n-1+1，
故T₁₀=5+1+（2²+1）+（2³+1）+…+（2⁹+1）
=2¹⁰+10=1034．
故答案為：1；1034．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，數(shù)列與函數(shù)結(jié)合問題，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．