Question

2．已知遞增等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=a_n-2+3log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由題意利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)定義列出方程組，求出首項(xiàng)和公式比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n=a_n-2+3log₂a_n=${2}^{n}-2lo{g}_{2}{2}^{n}$=2ⁿ-2n，利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（1）∵遞增等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)，
∴由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}=28}\\{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=2（{a}_{1}{q}^{2}+2）}\\{q＞0}\end{array}\right.$，
解得a₁=2，q=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
（2）∵b_n=a_n-2+3log₂a_n=${2}^{n}-2lo{g}_{2}{2}^{n}$=2ⁿ-2n，
∴S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-2（1+2+3+…+n）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+2×$\frac{n（1+n）}{2}$
=2ⁿ⁺¹+n²+n-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．