【題目】已知圓,直線, .

(1)求證:對,直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

(2)求弦的中點(diǎn)的軌跡方程,并說明其軌跡是什么曲線;

(3)是否存在實(shí)數(shù),使得原上有四點(diǎn)到直線的距離為?若存在,求出的范圍;若不存在,說明理由.

【答案】(1)見解析;(2)M的軌跡方程是,它是一個(gè)以為圓心,以為半徑的圓;(3).

【解析】【試題分析】(1)依據(jù)題設(shè)可以運(yùn)用圓心與直線的距離或考慮動直線過定點(diǎn)分析判斷;(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用圓心與弦中點(diǎn)的連線與直線垂直建立方程求解;(3)依據(jù)題設(shè)借助圖形的直觀,運(yùn)用圓心距與直線的位置和數(shù)量關(guān)系建立不等式:

(1)圓的圓心為,半徑為,所以圓心C到直線的距離

所以直線與圓C相交,即直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);

或:直線的方程可化為,無論m怎么變化,直線過定點(diǎn),由于,所以點(diǎn)是圓C內(nèi)一點(diǎn),故直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

(2)設(shè)中點(diǎn)為,因?yàn)橹本恒過定點(diǎn)

當(dāng)直線的斜率存在時(shí), ,又,

所以,化簡得

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),中點(diǎn)也滿足上述方程

所以M的軌跡方程是,它是一個(gè)以為圓心,以為半徑的圓

(3) 假設(shè)存在直線,使得圓上有四點(diǎn)到直線的距離為由于圓心,半徑為則圓心到直線的距離為

化簡得,解得

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