Question

2．設f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，利用定義法證明f（x）在R上是單調遞增函數(shù)．

Answer 1

分析 在R上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，推導出f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{4}^{{x}_{1}}-{4}^{{{x}_{2}}^{\;}}）}{（{4}^{{x}_{1}}+2）（{4}^{{x}_{2}}+2）}$＜0，由此能證明f（x）在R上是單調遞增函數(shù)．

解答 證明：在R上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{4}^{{x}_{1}}}{{4}^{{x}_{1}}+2}-\frac{{4}^{{x}_{2}}}{{4}^{{x}_{2}}+2}$
=$\frac{{4}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+2×{4}^{{x}_{1}}-{4}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-2×{4}^{{x}_{2}}}{（{4}^{{x}_{1}}+2）（{4}^{{x}_{2}}+2）}$
=$\frac{2（{4}^{{x}_{1}}-{4}^{{{x}_{2}}^{\;}}）}{（{4}^{{x}_{1}}+2）（{4}^{{x}_{2}}+2）}$，
∵x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{4}^{{x}_{1}}-{4}^{{{x}_{2}}^{\;}}）}{（{4}^{{x}_{1}}+2）（{4}^{{x}_{2}}+2）}$＜0，
∴f（x）在R上是單調遞增函數(shù)．

點評 本題考查f（x）在R上是單調遞增函數(shù)的證明，考查函數(shù)單調性等基礎知識，考查推理論能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎題．