Question

若函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

（a-1）x²-2a（a+1）x 在區(qū)間（-1，1）上不具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求導(dǎo)函數(shù)，需要分類討論，當(dāng)對(duì)稱軸在（-1，1）時(shí)，只要求f′（

1-a

2

）＜0即可，當(dāng)當(dāng)對(duì)稱軸不在（-1，1）時(shí)只要求f′（-1）•f′（1）＜0，分別解不等式，得到a的范圍

解答： 解：∵f′（x）=x²+（a-1）x-2a（a+1）=（x+2a）（x-a-1），
∴對(duì)稱軸為x=

1-a

2

，
當(dāng)-1＜

1-a

2

＜1時(shí)，即-1＜a＜3，要使函數(shù)f（x）不具備單調(diào)性，
∴f′（

1-a

2

）＜0，
即

(1-a)2

4

-

(1-a)2

2

-2^a-2a＜0，
整理得（3a+1）²＜0，無(wú)解，
當(dāng)-

1-a

2

≥1，或

1-a

2

≤-1時(shí)，即a≤-1或a≥3時(shí)，
∴f′（-1）•f′（1）＜0，
即（1+1-a-2a²-2a）（1+a-1-2a²-2a）＜0，
整理得，a（2a-1）（a+2）（2a+1）＜0，（*）
當(dāng)a≥3時(shí)，（*）不成立，
當(dāng)a＜-1時(shí)，解得-2＜a≤-1
綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，1]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生的分類討論的能力，運(yùn)算能力，屬于中檔題